催乳师证书颁发机构主要由以下几个部门负责：
1、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部是国家级的行政部门，负责全国范围内的职业资格证书的颁发和管理，催乳师证书作为国家职业资格证书，由人力资源和社会保障部负责统一管理和监督，在催乳师证书的颁发过程中，人力资源和社会保障部会对培训机构进行资质审查，确保其具备相应的培训能力和教学水平，人力资源和社会保障部还会对催乳师进行职业技能考核，确保其具备从事催乳师工作的专业知识和技能。
2、卫生健康委员会：卫生健康委员会是国家级的卫生行政部门，负责全国范围内的卫生健康工作，催乳师作为一种专业的健康服务人员，其职业活动涉及到母婴健康领域，卫生健康委员会也会对催乳师证书的颁发进行监管，确保催乳师具备相关的卫生健康知识和技能，能够为母婴提供专业、安全、有效的健康服务。
3、国家中医药管理局：国家中医药管理局是国家级的中医药管理部门，负责全国范围内的中医药工作，虽然催乳师作为一种新兴的健康服务人员，其职业活动主要涉及现代医学领域，但随着人们对中医养生理念的重视，越来越多的人开始关注中医药在母婴健康领域的应用，国家中医药管理局也会对催乳师证书的颁发进行一定程度的监管，确保催乳师在运用中医药方法进行催乳时，能够遵循中医药的基本原则和规范。
4、行业协会和专业委员会：在中国，催乳师行业通常由一些行业协会和专业委员会进行自律管理，这些协会和专业委员会会制定行业标准和规范，对会员进行培训和考核，以确保催乳师具备一定的专业素质和能力，在催乳师证书的颁发过程中，这些协会和专业委员会会对申请颁发证书的人员进行审核，确保其符合行业标准和规范，这些协会和专业委员会还会与人力资源和社会保障部、卫生健康委员会等相关部门保持密切沟通，共同推动催乳师行业的健康发展。
5、地方人社局和卫生健康委：在各省、市、县等地方层面，也有相应的人社局和卫生健康委员会负责本地区内的职业资格证书颁发和管理，这些地方部门会与上级部门保持协调和配合，确保催乳师证书在地方范围内得到有效管理和监督。
催乳师证书的颁发涉及到多个部门和机构的共同努力，通过多部门的协同监管和管理，可以确保催乳师行业得到健康、有序的发展，为广大母婴提供专业、优质的健康服务。