运动康复师证发证机构主要由以下几个部门负责：

1、国家卫生健康委员会：作为中国政府的最高卫生管理机构，国家卫生健康委员会负责制定和发布全国性的医疗卫生政策、法规和技术标准，在运动康复领域，国家卫生健康委员会会监督和管理运动康复师的培训、考试和发证工作，确保运动康复师的专业素质和能力得到充分保障。

2、中国康复医学会：中国康复医学会是一个全国性的专业学术组织，致力于推动康复医学的发展和进步，该学会负责组织和管理运动康复师的职业资格认证工作，包括制定考试大纲、组织考试、颁发证书等，中国康复医学会还会定期举办各类学术活动，提高运动康复师的专业水平和交流合作。

3、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会：各级卫生健康委员会在国家卫生健康委员会的指导下，负责本地区的运动康复师管理工作，这些部门会组织开展运动康复师的培训和考试工作，对合格者颁发证书，各级卫生健康委员会还会与相关医疗机构合作，为运动康复师提供就业和实践机会。

4、体育总局和教育部：体育总局和教育部作为我国体育事业的主管部门，分别负责全国性和地方性的体育事务，在运动康复领域，两部门会共同推动运动康复师的培训和发展工作，支持各级卫生健康委员会和体育院校开展相关培训和考试，两部门还会加强对优秀运动康复师的选拔和表彰，激励更多人投身于运动康复事业。

5、体育院校和职业技术学校：作为培养运动康复师的主要教育基地，体育院校和职业技术学校在运动康复师证发证工作中扮演着重要角色，这些学校会根据国家卫生健康委员会和中国康复医学会的相关规定，制定教学计划和课程设置，培养具备专业知识和技能的运动康复师，毕业后，学生需要参加国家卫生健康委员会或中国康复医学会组织的考试，通过后方可获得运动康复师证书。

6、社会培训机构：为了满足市场对运动康复师的需求，一些社会培训机构也开展了运动康复师培训和考证工作，这些机构通常会与各级卫生健康委员会、体育院校或职业技术学校等教育机构合作，共同完成培训和考试任务，由于监管不够严格，这类培训机构的教学质量和证书认可度可能存在一定差异，因此学员在选择时需谨慎。

运动康复师证发证机构主要包括国家卫生健康委员会、中国康复医学会、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会、体育总局和教育部、体育院校和职业技术学校以及社会培训机构等，这些部门各自承担着不同的职责和任务，共同推动运动康复事业的发展。