根据国家卫生健康委员会(简称卫健委)的官方公告，康复理疗师证颁发部门主要由以下几个单位承担：

1、卫生健康委员会直属事业单位：卫生健康委员会直属的一些事业单位，如中国康复研究中心、中国康复医学会等，负责康复理疗师的培训、考试和证书颁发工作。

2、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会：各省、自治区、直辖市卫生健康委员会下属的卫生职业学院、技工学校等教育培训机构，负责本地区的康复理疗师培训和考试工作，这些单位需要按照国家卫生健康委员会的统一规定，制定培训课程、教材和考试大纲，确保培训质量。

3、军队医院：中国人民解放军的军队医院，如解放军总医院、解放军第309医院等，负责康复医学专业的人才培养和科研工作，其中包括康复理疗师的培训和证书颁发。

4、民营医疗机构：在符合国家卫生健康委员会相关规定的前提下，民营医疗机构也可以开展康复理疗师的培训和证书颁发工作，这些机构需要与卫生健康委员会直属事业单位或各省、自治区、直辖市卫生健康委员会下属的教育培训机构合作，确保培训质量和证书的合法性。

5、其他相关单位：除上述单位外，还有一些其他与康复理疗师相关的单位，如残疾人福利基金会、社会福利院等，也可能会承担康复理疗师的培训和证书颁发工作，但这些单位需要遵循国家卫生健康委员会的相关规定，确保培训质量和证书的合法性。

康复理疗师证颁发部门主要包括卫生健康委员会直属事业单位、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会及其下属的教育培训机构、军队医院以及民营医疗机构等，还有一些其他与康复理疗师相关的单位也可能承担相关工作，希望以上信息对您有所帮助。